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VETTORI


NUMERI (scalari)
VETTORI (direzione, verso, modulo (intensità), punto di applicazione Schema

Il vettore è un modo veloce di rappresentare più informazioni.
Usiamo il vettore perché le semplici grandezze non bastano
e ci sono grandezze che hanno bisogno di maggiori informazioni per descriverle.
Con la freccia sostituiscono linee di spiegazione.
Esempio di grandezze:

WATT (misurano la potenza)
VOLT (misurano la differenza di potenziale)
JOULE (misurano il lavoro)

DIREZIONE: retta sulla quale appoggia il vettore e si rappresenta con una linea tratteggiata. Schema
VERSO: indica da che parte va la retta e viene rappresentata dalla freccia.
MODULO: indica quanto grande è il valore della grandezza che devo rappresentare.
PUNTO DI APPLICAZIONE: punto dove applichiamo il vettore.

RAPPRESENTAZIONE

SCALA 1CM = 100N
OPERAZIONI - GRAFICA
- ANALITICA o NUMERO


SOMMA GRAFICA DI DUE VETTORI = a un vettore

- Mi servono due vettori
1- Li unisco in un unico punto di applicazione
2- Disegno le direzioni
3- Disegno le parallele delle due rette
4- Identifico l'incrocio delle due rette parallele
alle direzioni dei vettori
5- Traccio il segmento dal punto "A" a "D".
Il segmento è la risultante della somma di 2 vettori.
Schema


Esempio:
F1 = 350[N] alfa 1 = 30°
F2 = 400[N] alfa 2 = -60°

SCALA -> 1cm = 100N

AD = 5,4cm
R = 5,4 x 100 = 540 N

Schema

REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA

Somma due e solo due vettori.

- Se ci sono più vettori bisogna applicare più volte la regola del parallelogramma
- Un altro metodo più semplice è quello che prende il nome di
POLIGONO DELLE FORZE -> bisogna disegnare 2 vettori, dove finisce il primo (F1) disegno il secondo(F2)
e il lato che chiude il poligono è la risultante (F).

Schema Schema


SOTTRAZIONE TRA DUE VETTORI
Mi servono 2 vettori e ottengo un terzo vettore. un primo modo di fare una sottrazione è quella di fare una somma.
(GRAFICO)

Disegnare 2 vettori nello stesso punto di applicazione. Disegnare il vettore opposto di F2 (-F2, tracciare le rette di direzione, tracciare le parallele delle 2 rette e dove esse si intersecano (punto D) tracciare il segmento AD che è la risultante (F) dei 2 vettori.
(GRAFICO)

Nel parallelogramma una diagonale è la somma e l'altro parallelogramma è la differenza.

(GRAFICO)

La sottrazione si fa con 2 vettori alla volta anche se si può applicare la regola del poligono delle forze.
(GRAFICO)

MOLTIPLICAZIONE

(FORMULA)

Si riconosce che è un numero scalare perché non ha il segno sopra.
Il vettore risultante ha lo stesso punto di applicazione, ha la stessa retta di direzione. Cambia il verso e il modulo.

Se x>0 il verso è lo stesso
Se x<0 il verso è opposto

Il modulo del vettore risultante è uguale al modulo del vettore per x volte.

(FORMULA)

METODO ANALITICO O NUMERICO
Per trasformare i vettori in numeri dobbiamo passare per la trigonometria:
-Seno Sono segmenti che ottengo proiettando
-Coseno i punti sull' asse x e y
-Tangente

(GRAFICO)

1)Si disegna un cerchio, di nome trigonometrico;
2)Si disegna un punto (A) sul cerchio;
3)Proietto le parallele all'asse x e y partendo dal punto e i segmenti che trovo sono il seno e il coseno dell'angolo

(TABELLE E GRAFICI)


Seno alfa: è il cateto opposto all'angolo alfa.
Ed è proporzionale al seno dell' angolo alfa.

(grafico)

Tutto rimane in proporzione all' ipotenusa.
Ci sono altre funzioni trigonometriche altre a seno e coseno.

(formule, disegno)

Questo ci servirà per fare la somma o la sottrazione due vettori.

(formule)

(esempio)

SOMMA

equazione vettoriale

COMPONENTI DELLA RISULTANTE

equazioni scalari


SOTTRAZIONI

COMPONENTI DELLA RISULTANTE: per trovarla usiamo il teorema di Pitagora che dice:
la somma dei quadrati costituiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull' ipotenusa

(formule)

Determino le componenti del primo vettore F1: (formula)

Determino le componenti del secondo vettore F2: (formula)

Determino le componenti della risultante: (formula)

Determino il modulo della risultante applicando il teorema di Pitagora:

(formula)

Determino il modulo della risultante applicando il teorema di Pitagora:

(formula)

Determino l'angolo della risultante:

(formula)

(Esercizio)


MOLTIPLICAZIONE

(Formula)

1)Determino le componenti del vettore F:

(Formula)

(Formula)

2)Moltiplico le componenti per il numero scalare e trovo le componenti della risultante:

(Formula)

(Formula)

3)Determino il modulo della risultante applicando il teorema di Pitagora:

(Formula)

4)Determino l'angolo della risultante:

(Formula)

(Esercizio)

(Esercizio)

(Esercizio)


IL MOMENTO DI UNA FORZA

Nel sistema internazionale la forza si misura in Newton ed è rappresentata da un vettore. Un corpo soggetto ad una forza si sposta lungo la direzione del vettore, ovvero la direzione della forza. Oltre alla direzione c'è anche il verso. Se applico una forza o due forze il corpo subisce una TRASLAZIONE. Se invece voglio far ruotare il mio corpo uso il MOMENTO DI UNA FORZA che è associato alla rotazione del corpo. Solitamente il momento viene considerato di segno (+) se la sua rotazione avviene in senso orario è di segno negativo (-) quando il senso di rotazione è antiorario. Per facilitare le varie operazioni si sceglie una conversione dei segni che mi indica il segno positivo e negativo. Per possedere un MOMENTO una forza deve avere:
-un punto di riferimento chiamato polo;
-un BRACCIO che è la distanza della forza dal polo.
Se la forza possiede queste due cose si determina il suo momento. La distanza è il segmento più corto che unisce un punto (polo) ad una retta di direzione. La distanza è uguale a zero se il punto giace sulla retta di direzione.
Le forze traslano, i momenti invece rappresentano la rotazione.
IL MOMENTO DI UNA FORZA è dato dal prodotto dell'intensità della forza F per il braccio b.
(formula):è un espressione scalare perché la forza F non possiede la freccia sopra.
(formula):è un espressione vettoriale. In questa formula il vettore risultante è ORTOGONALE al piano dei due vettori, cioè forma un angolo retto. il verso dei vettori, cioè forma un angolo un angolo retto. Il verso del vettore del vettore risultante parte dal piano dove giacciono i due vettori e va all'asse Z (entra e esce). Esso si rappresenta con un semicerchio.

IL MOMENTO DI UNA COPPIA DI FORZE

Una coppia di forze è un sistema formato da due forze complanari F1, F2 parallele, diverso opposto, di uguale intensità o modulo (F1=F2) e distanti tra loro un tratto b, detto braccio della coppia, tracciato perpendicolarmente alla direzione delle forze.
Il momento di una coppia di forze, dato dalla relazione (formula), è il prodotto dell'intensità di una delle due forze per il braccio b.
Come si può notare nella definizione e nella formula il momento di una coppia di forze non dipende dal POLO scelto perché la distanza dal polo della forza non è nella formula e non dipende dalla retta di direzione, ma dipende dal braccio B e dal modulo di una delle due forze F.

INDIPENDENZA DAL POLO

(DISEGNO)

1)Disegno la coppia di forze con le loro rispettive rette di direzione e scelgo una convenzione dei segni;
2)Scelgo un punto, chiamato polo, e trovo i bracci delle due forze;
3)A questo punti calcolo i momenti delle due forze che sono dati dalla seguente formula:

(FORMULA)

(FORMULA)

4)Adesso posso trovare il momento della coppia di forze che è uguale a:

(FORMULA)

Raccolgo a fattor comune b perché F1 ed F2 sono uguali. Quindi:

(FORMULA)

Faccio la sottrazione tra i due bracci e mi rimane:

(FORMULA)

Il momento di una coppia di forze non dipende dal polo ma dipende dalla distanza tra le due rette di direzione delle forze.

MOMENTO DI UN SISTEMA DI FORZE-TEOREMA DI VARIGNON

Un sistema di forze è un insieme di forze messe a caso.
Se abbiamo un sistema di forze complanari F1,F2,F3 e se scelgo un punto P(polo), possiamo calcolare il momento di ciascuna forza del sistema e anche della loro risultante R,
rispetta al punto P, moltiplichiamo l'intensità per i rispettivi bracci b1,b2,b3 e b4.
Per far questo dobbiamo applicare il TEOREMA DI VARIGNON.
E' un teorema che mette in relazione il momento di più forze e lo mette in relazione con il momento della risultante.
IL TEOREMA DI VARIGNON afferma che la somma dei momenti delle singole forze è pari al momento della risultante.
Quindi i momenti delle forze sono uguali al momento della risultante.

(DISEGNO)

1)Sommo le tre forze con il metodo del poligono delle forze e trovo la risultante;
2)Aggiungo un punto, chiamato polo, e traccio i bracci;
3)Trovo i momenti delle tre forze e il momento della risultante applicando la seguente formula:

(FORMULA)

4)Applico il teorema di Varignon ottenendo:

(FORMULA)

(FORMULA)

(FORMULA)

Se possediamo un sistema di forze parallele e verticali il teorema di Varignon può essere utilizzato per determinare in modo analitico la posizione della risultante R nel sistema di forze:

(FORMULA)

Dividendo per R a sinistra e destra si ricava:

(FORMULA)

ESEMPIO:

(DISEGNO)

1(Scelgo una convenzione dei segni;
2)Scelgo un polo;
3)Per trovare la risultante, trovo le componenti in x ed y dei vettori

(FORMULA)

(FORMULA)

4)Trovata la risultante, trovo il suo braccio applicando il teorema di Varignon:

(FORMULA)

Il momento della risultante è positivo, quindi essa ruota in senso orario e sta a destra del polo.
Se il momento della risultante è negativo essa sta a sinistra del polo.

(DISEGNO)

(FORMULA)

(FORMULA)

Essendo il momento della risultante negativo essa va posta a 2,7[m] a sinistra del polo.

EQUILIBRIO

Statica: un corpo è in equilibrio in due casi:
  1. se il corpo è fermo deve rimanere stato di equilibrio
  2. se il corpo è in moto costante
Quando studio un corpo non posso studiare un corpo reale perché il suo comportamento è complesso e quindi difficile da studiare.
Per questo motivo si fanno delle semplificazioni e lo si trasforma in un corpo rigido.
é un corpo ideale cioè un corpo che non esiste materialmente e nella realtà.
Esso ha due proprietà:
  1. deve essere indeformabile quando applico una forza;
  2. è omogeneo, cioè in ogni punto del suo corpo la densità è sempre la stessa.

EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO
In un corpo rigido, per avere l'equilibrio, tutte le forze applicate si devono annullare con delle forze uguali e contrarie in modo da far restare fermo il corpo. La forza di relazione è la risposta alla forza di azione.

BARICENTRO
Ogni corpo rigido possiede un punto chiamato baricentro dove concentro tutte le proprietà, in particolare le proprietà fisiche.
Una importante proprietà fisica è la massa con il baricentro è come se il mio corpo rigido fosse concentrato tutto in un punto.
Un punto è un'entità immaginaria e non ha dimensioni. Il baricentro è invece un punto reale, dunque serve per rappresentare tutte
le proprietà del corpo rigido, quindi al posto di mettere forze nel corpo, le concentro nel baricentro.

METODO GRAFICO

(GRAFICO)
1)Disegno il corpo con il suo punto G
2)Proietto il punto G sugli assi x e y e trovo XG e YG che sono le coordinate del punto G

Il punto G ha una proprietà: si trova sull'asse di simmetria.

METODO ANALITICO E NUMERICO
Per determinare analiticamente il baricentro di una figura complessa si può utilizzare anche il momento statico(S) di una superficie(A) rispetto a una retta(r).
Il momento statico dipende dall'area del corpo e dalla distanza del rispettivo baricentro dall'asse.
Il momento statico è dato dal prodotto dell' area del corpo per la distanza del rispettivo baricentro della retta.

(GRAFICO) (FORMULA)

Per trovare la posizione del baricentro di un corpo qualsiasi bisogna dividere il corpo in tante figure elementari(quadrato, cerchio, triangolo, rettangolo, ecc.)
perché se non trovo il baricentro non si può sapere la distanza del baricentro del corpo rispetto all'asse e di conseguenza non posso trovare il momento statico.

(GRAFICO)
1)Disegno il corpo e traccio l'asse dandogli un nome
2)Divido in tante figure elementari il corpo
3)Do un nome ad ogni figura elementare che possiede un'area e quindi un momento statico
4)Calcolo l'area di ogni figura e la distanza che la traccio sul disegno e poi la misuro
5)Calcolo il momento statico di ogni figura
6)Faccio la somma dei momenti e dico che il momento statico del corpo è uguale alla somma di tutti i momenti di ogni figura elementare.
(FORMULE)

Per trovare la distanza del punto G rispetto all'asse, applico la formula inversa.

(FORMULA)


Riferendo a un sistema di assi cartesiani x, y una superficie complessa e irregolare suddivisa in figure semplici e regolari di area A1. A questa figura si può applicare la relazione

(Formula) ricavando le coordinate del suo baricentro

(Schema + formule) La distanza del punto G al punto XG è YG, la distanza del punto G rispetto all'asse qualsiasi è d e YG è uguale a d, cambia solo il nome.

(Formula) La distanza del punto G al punto YG è XG.

ESERCIZI

1.(Schema)
  1. Disegno il corpo con le sue quote, e l'asse.
  2. Traccia le diagonali del rettangolo e dove esse si intersecano trovo il punto G.
  3. Adesso posso calcolare la distanza del punto G dell'asse:

(Formule)


2.(Schema)
  1. Disegno il corpo in scala, lo quoto e lo divido in tante figure elementari, numero le aree delle figure e le chiamo AREA 1 e AREA 2. Ho suddiviso il corpo in 2 rettangoli ma lo si poteva dividere in 6 triangoli o in tre rettangoli. Non lo faccio perché avrei avuto troppi calcoli.
  2. Trovo il baricentro dei due rettangoli tracciando le diagonali e li chiamo G1 e G2
  3. Trovo le aree dei due rettangoli: (Formule)
  4. Trovo le coordinate dei baricentri: (Formule)
  5. Calcola le coordinate del baricentro che sono uguali a: (Formule)


3.(Schema)
  1. Ho diviso il corpo in due rettangoli e li ho chiamati Area 1 e Area 2.
  2. Ho trovato i baricentri dei due rettangoli tracciamo le loro diagonali e gli ho chiamati G1 e G2.
  3. Trovo l'area dell'intero corpo e la sottraggo con l'area del foro.

(Formula)
  1. Trovo solo coordinata XG perché YG, visto che il corpo è simmetrico, si trova sull'asse del corpo e quindi basta misurare dall'asse del corpo.
(Formula)


4.(Schema)


EQUILIBRIO DEI CORPI

(Schema)

1) Prendiamo un corpo qualunque che possiede u8n baricentro (punto g).
2) Applichiamo una forza e quindi il corpo si muove e non è in equilibrio.
3) Per tenere il corpo in equilibrio devo applicare una forza uguale e contraria, con questo modo le due forze si annullano a vicenda.
4) Per applicare una forza uguale e contraria abbiamo inventato il vincolo che esercita una o più forze di reazione che reagiscono alle sollecitazioni esterne. Se al vincolo non viene applicata nessuna forza, esso non esercita alcuna reazione.

- Il principale scopo del vincolo è quello di impedire il movimento, che è la capacità del corpo di muoversi nel piano, cioè spostarsi lungo una direzione chiamata traslazione o ruotare attorno a un asse ( momento):
- Il corpo può ruotare solo attorno ad una direzione.
- Nel piano il corpo possiede 3 gradi di libertà, che sono i principali tipi di movimenti possibili che può possedere il corpo. più gradi di libertà possiede il corpo, maggiore è il numero di movimenti che può fare.
- Questo termine (gradi di libertà) è anche applicato alle macchine utensili.
- Nello spazio ci sono 6 gradi di libertà.
- Un corpo è vincolato quando i suoi gradi di libertà sono limitati o impediti totalmente da sistemi di bloccaggio, detti vincoli, che reagiscono alle forze esterne con forze equilibranti, dette reazioni vincolari, capaci di mantenere il corpo.

-CARRELLO: è un vincolo semplice perché reagisce con la sola reazione verticale, diretta verso l'alto. Con questo vincolo il corpo può compiere tutti i movimenti, esclusa la traslazione verticale verso il basso.
-CERNIERA: è un vincolo doppio perché blocca i due movimenti di traslazione verticale e orizzontale, consente quindi solo la rotazione.
-INCASTRO: è un vincolo triplo perché impedisce i tre possibili movimenti di un corpo in un piano.

(Schema)

Le reazioni vincolari vanno disegnate tratteggiate per differenziarle dalle forze esterne con segno positivo che mi viene indicato dalla convezione dei segni che io stesso scelgo e reazioni non supposte cioè non è detto che esse sono positive, è solo che una mia ipotesi. Sarà il risultato che mi dirà se avevo ragione.

SCHEMA STATICO: è una rappresentazione schematica della realtà, io faccio una rappresentazione più semplice della realtà, perché essa è difficile da studiare e da capire.
Ecco il procedimento per calcolare le reazione vincolari:
- Disegno il corpo che generalmente è rappresentato da una linea;
- Per tenere il corpo in equilibrio, aggiungo i vincoli, a cui do dei nomi. Di solito li si nomina con delle lettere maiuscole dell'alfabeto partendo dalla A alla Z.
- Aggiungo al corpo le forze esterne che agiscono su di esso, e disegno le reazioni a cui do dei nomi.

(Schema)

La reazione è un vettore e si rappresenta tramite le sue componenti.
Per determinare le reazioni vincolari si applicano le EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA.


(formula) impediscono al corpo di traslare
(formula)impedisce al corpo di ruotare


Questo è un sistema di tre equazioni in 3 incognite e garantisce un'unica soluzione.


(formula) somma delle forze esterne e delle reazioni
(Formula) somma delle forze esterne e delle reazioni
(Formula) somma di tutti i momenti concentrati dovuti alle forze e alle reazioni


CALCOLO DELL'EQUILIBRIO DEL CORPO
  1. Ci serve uno schema statico.
  2. Rappresento il corpo.
  3. Metto i vincoli.
  4. Metto le forze esterne.
  5. Do i nomi ai vincoli.
  6. Metto le reazioni e gli do un nome.
  7. Applico le equazioni cardinali della statica.


CARICO DISTRIBUITO:
Un carico è detto uniformemente distribuito quando è costituito da una serie di forze di intensità costante agenti sulla superficie dell'oggetto. Si tratta di un carico unitario espresso in N/m, cioè in Newton su ogni metro di lunghezza.

RAPPRESENTAZIONE DEL CARICO DISTRIBUITO
Su una trave con due vincoli, il carico distribuito uniforme si rappresenta con un rettangolo. L'altezza del rettangolo rappresenta l'intensità del carico e il fatto che si usa il rettangolo vuol dire che il carico è uguale in ogni punto della superficie. La lettera "q" indica il carico distribuito.

(schema) Q= q x a


Per il calcolo delle reazioni vincolari si può sostituire il carico q uniformemente distribuito
con un carico concentrato equivalente a Q= q x a, applicato nel punto medio del tratto di trave
di lunghezza "a" soggetto al carico "q".
Dopo la sostituzione del carico uniformemente distribuito con la risultante "Q", le reazioni
vincolari vengono calcolate con lo stesso procedimento seguito nel caso della trave appoggiata.


COPPIA CONCENTRATA:
La coppia concentrata è un qualcosa che applica un momento, che può essere ottenuto in due modi:
1)con un braccio b, una forza F e un polo P;
2)con una coppia di forze.
Il primo modo di ricorrere a un momento è quello di prendere una forza, scegliere un polo, trovare il braccio, che è la distanza della forza dal polo, e calcolare il momento. Questo modo però mi rompe l'equilibrio.

(schema) M= F x b


Il secondo modo di ricorrere a un momento è quello di prendere una coppia di forze. I loro momenti sono uguali e quindi ottengo; a distanza b; un momento uguale al precedente, anche se ho messo due forze.
(schema) M= F x b


Queste due forze sono in equilibrio perché la loro somma in direzione y è uguale a zero.

Nello schema statico non bisogna disegnare le due forze ma bensì la coppia concentrata.
Essa va posta nella terza equazione cardinale della statica perché è un momento, e non
deve essere moltiplicata per nessun braccio perché è già un momento.

(schema)


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